1 应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品

1) 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2) 要求装入的物品不能重复

2 动态规划算法介绍

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题 进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的 。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解

3 动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品

1) 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2) 要求装入的物品不能重复
思路分析和图解

3) 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价

值最大。其中又分 01 背包 和完全背包 (完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)

4) 这里的问题属于 01 背包 ，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。

5) 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品

放入背包中。 即对于给定的 n 个物品， 设 v[i]、 w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量， C 为背包的容量。 再令v[i][j]表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0

(2) 当 w[i]> j时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个 单元格的装入策略

(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}

// 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量

// 装入的方式:

v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值

v[i] : 表示当前商品的价值

v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值

当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

6)图解的分析

4 动态规划-背包问题的代码实现

public class _KnapsackProblem {

/* 动态规划 01背包问题*/

public static void main(String[] args) {

int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量

int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]

int m = 4; //背包的容量

int n = val.length; //物品的个数

//创建二维数组，

//v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值

int[][] v = new int[n+1][m+1];

//为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组

int[][] path = new int[n+1][m+1];

//初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0

for(int i = 0; i < v.length; i++) {

v[i][0] = 0; //将第一列设置为0

}

for(int i=0; i < v[0].length; i++) {

v[0][i] = 0; //将第一行设置0

}

//根据前面得到公式来动态规划处理

for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的

for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的

//公式

if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]

v[i][j]=v[i-1][j];

} else {

//说明:

//因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成

//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);

//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);

//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式

if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {

v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];

//把当前的情况记录到path

path[i][j] = 1;

} else {

v[i][j] = v[i - 1][j];

}

}

}

}

//输出一下v 看看目前的情况

for(int i =0; i < v.length;i++) {

for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {

System.out.print(v[i][j] + " ");

}

System.out.println();

}

System.out.println("============================");

//输出最后我们是放入的哪些商品

int i = path.length - 1; //行的最大下标

int j = path[0].length - 1; //列的最大下标

while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找

if(path[i][j] == 1) {

System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);

j -= w[i-1]; //w[i-1]

}

i--;

}

}

}

输出：

0 0 0 0 0 
0 1500 1500 1500 1500 
0 1500 1500 1500 3000 
0 1500 1500 2000 3500 
============================
第3个商品放入到背包
第1个商品放入到背包

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